انتخابات و ریاضی

من قبلا در مورد اینکه نظر سنجی ها چقدر می تونن نتیجه معتبر داشته باشن نوشتم. حالا می خوام در مورد موضوع دیگه ای بنویسم.

شمارش آرا مجلس در بعضی از حوزه های انتخاباتی با جمعیت زیاد و درنتیجه  نمایندگان بیشتر مجلس مثل تهران خیلی طول می کشه. اما وزارت کشور می تونه خیلی منتظر نمونه و خیلی سریع جواب اولیه ای رو اعلام کنه که با دقت 98 درصد (یعنی تقریبا 100درصد!!!) مطمئن باشه.

روش کار هم اینه که فرض کنیم در صندوقی 2000 رای انداخته شده و یک نماینده در این صندوق مثلا 600 رای (30 درصد آرا رو داره).حالا اکر فقط 10 درصد آرا این صندوق به طور تصادفی انتخاب بشه و  آراء  شمرده بشه؛ به احتمال بیش از 98 درصد اون شخص در بین این 10 درصد آرا میتونه 29 تا 31 درصد آرا رو کسب کنه؛ و براین اساس میشه با یک دقت خیلی بالا آراء اون نماینده رو در کل یک صندوق محاسبه کرد و اگر این کار رو برای تک تک صندوق ها انجام بدیم, اون موقع میشه با یک دقت خیلی بالا وفقط با شمارش 10 درصد کل آرا نتیجه تقریبی انتخابات رو که 98 درصد دقت داره رو تعیین کرد.

سوال: فرض کنید صندوقی دارای n رای هست؛ که یک شخص خاص دارای m درصد رای در این صندوق هست. احتمال اینکه با شمارش 10 درصد آراء؛ آراء این شخص در این 10 درصد بین m-1 و m+1  درصد قرار بگیرد چقدر است؟