من یک غیر افلاطونی ام
سه شنبه, ۲۳ مهر ۱۳۹۲، ۰۵:۴۷ ب.ظ
نوشته زیر به نقل از سایت الف هست.
آیا ریاضیات زبانی کارآمد برای توصیف جهان است؟
ریاضیات زبان جهانی خوانده می‌شود و دانشمندان و مهندسان اغلب از جایگاه ویژه آن به هنگام توصیف واقعیت فیزیکی سخن می‌گویند.
به گزارش ایسنا، در این میان، آنها به مثال‌هایی مانند عدد پی، E=mc۲ و حتی مولفه‌ای ساده مانند استفاده از اعداد صحیح انتزاعی برای شمارش اشیای جهان واقعی اشاره می‌کنند. با این حال، در حالی که این مثال‌ها میزان کارآمدی ریاضیات را برای انسان نشان می‌دهند، آیا این بدین معناست که جهان فیزیکی به طور طبیعی از قواعد ریاضیات به عنوان زبان مادری‌اش تبعیت می‌کند و این که آیا ریاضیات دارای وجود ذاتی است و منتظر کشف‌شدن است؟
این نقطه‌نظر در خصوص ماهیت رابطه بین ریاضیات و جهان فیزیکی «افلاطون‌گرایی» (Platonism) نامیده می‌شود، اما همگان با آن موافق نیستند. «درک آبوت»، پروفسور مهندسی الکترونیک و برق دانشگاه آدلاید استرالیا، در مقاله‌ای این موضوع را مطرح می‌کند که افلاطون‌گرایی ریاضیاتی دیدگاه دقیقی از واقعیت نیست.
به جای آن، وی طرفدار دیدگاه مخالف یعنی دیدگاه «غیرافلاطونی‌ها» است، که بر اساس آن، ریاضیات محصول تخیل انسانی است که انسان‌ها برای توصیف واقعیت، خلق کرده‌اند. در واقع، «درک» با استفاده از تجاربش تخمین می‌زند، در حالی که ۸۰ درصد ریاضی‌دانان به دیدگاه افلاطونی تکیه دارند، مهندسان تا حد زیادی غیرافلاطونی هستند. به گفته وی، فیزیکدانان تمایل دارند «غیرافلاطونی‌های پنهان» باشند، یعنی آنها اغلب در ملاعام افلاطونی به نظر می‌رسند، اما در خلوت خود اغلب اعترافی غیرافلاطونی دارند.
بنابراین، اگر ریاضی‌دانان، مهندسان و فیزیکدانان همگی بتوانند علی‌رغم تفاوت در اعتقادات بر سر موضوع فلسفی‌شان، عمل کنند، چرا ماهیت واقعی ریاضیات در ارتباطش با جهان فیزیکی مهم است؟
به گفته درک، دلیل این امر آن است که چون فرد متوجه می‌شود ریاضی صرفا یک سازه ذهنی است، (تقریبی از واقعیت که دارای نقاط ضعف و محدودیت‌های خود بوده و در نقطه‌ای ناکام می‌ماند، زیرا اشکال ریاضیاتی کامل در جهان فیزیکی وجود ندارند) می‌توان دید که ریاضیات تا چه اندازه غیرمفید است.
جنجالی‌ترین نقطه‌نظر آبوت این است که وی می‌گوید، ریاضیات به طور منحصربه‌فردی در توصیف‌کردن واقعیت خوب نبوده و قطعا همان معجزه‌ای نیست که تعدادی از دانشمندان از آن در حیرت‌اند. «درک» ادامه می‌دهد که اینشتین که یک غیرافلاطونی ریاضیاتی بود، دانشمندی بود که قدرت ریاضیات وی را حیرت زده کرده بود. وی از خود می‌پرسید: چگونه ریاضیات با وجود این که محصول تفکر انسانی (که خود مستقل از تجربه است) است، تا حد تحسین‌برانگیزی به اشیای موجود در واقعیت مرتبط است؟
در سال ۱۹۵۹، «یوجین ویگنر» ریاضیدان و فیزیکدان، این مشکل را «تاثیر غیرمعقولانه ریاضیات» توصیف کرد و در پاسخ آن، مقاله آبوت با عنوان «ناکارآمدی معقولانه ریاضیات» منتشر شده است. هر دوی این دیدگاه‌ها مبتنی بر ایده غیرافلاطونی هستند و این که ریاضیات اختراعی انسانی است. اما در حالی که ویگنر و اینشتین را می‌توان خوشبینان ریاضیاتی در نظر گرفت که متوجه تمامی شیوه‌هایی که از طریق آنها، ریاضیات با دقت واقعیت را توضیف می‌کند، بودند، آبوت با بدبینی اشاره می‌کند که مدل‌های ریاضیاتی تقریبا همیشه دارای نارسایی هستند.
آبوت توضیح می‌دهد که ریاضیات کارآمد، نمایش‌های ایده‌آل و فشرده‌ای از جهان فیزیکی ذاتا پر سر و صدا ارائه می‌دهد. وی مدعی است بیان‌های ریاضیاتی تحلیلی، شیوه‌ای برای توصیف‌های فشرده مشاهدات ما هستند و این که انسان‌ها به دنبال فشردگی هستند که ریاضیات به آنها می‌دهد، زیرا آنها قدرت مغز را محدود کرده‌اند.
به اعتقاد «درک»، ریاضیات هنگامی مفید است که بیان‌های ساده و فشرده‌ای ارائه دهد که بتوان به طور مکرر بر بسیاری از موقعیت‌ها اعمال کرد و زمانی که نتواند این فشردگی را ارائه دهد، ناکارآمد است. در واقع، این فشردگی است که آن را عملی و مفید می‌کند. به گفته آبوت، حالت‌های بسیار بیشتری وجود دارند که در آن ریاضی ناکارآمدتر (غیرفشرده) از زمانی است که مفید (فشرده) است و هنگامی که ما بر مثال‌های موفق تمرکز می‌کنیم، ریاضی فقط دارای توهم مفیدبودن است، اما مثال‌های موفق ما شاید به بخش کوچکی از تمامی سوالات ممکنی که در خصوص جهان مطرح‌اند، اعمال می‌شود.
تعدادی از مباحث موجود در مقاله آبوت، مبتنی بر ایده‌های «ریچارد وسلی همینگ» ریاضیدان است که در سال ۱۹۸۰ چهار دلیل را ارائه داد مبنی بر این که چرا ریاضیات آن گونه که به نظر می‌رسد، مفید نیست. گرچه همینگ خود را وقف این ایده کرد که ریاضیات به طور غیرمعقولانه‌ای کارآمد است، آبوت نشان می‌دهد که دلایل همینگ در واقع، از غیرافلاطونی‌گری و سطح کاهش‌یافته کارآمدی ریاضی حمایت می‌کنند.
دلایل آبوت برای این که چرا ریاضیات به طور معقولانه‌ای ناکارآمد است، بر اساس دیدگاه غیرافلاطونی و این که ریاضیات اختراعی انسانی است، قرار دارند. به گفته وی، ریاضیات موفق به نظر می‌رسد، زیرا ما مسائلی را در نظر می‌گیریم که برای آنها شیوه‌ای در اعمال ریاضیات یافته‌ایم. این در حالی است که میلیون‌ها مدل ناکام ریاضی وجود دارند، اما هیچ کس به آنها اهمیتی نمی‌دهد و این که یک "نابغه" صرفا فردی است که ایده‌ای بزرگ دارد، اما حس می‌کند که در خصوص دیگر افکار دیوانه‌وارش باید سکوت کند.
«درک» دلیل دیگرش را این گونه بیان می‌کند: کاربرد ریاضیات برای ما در مقیاس‌های مختلف تغییر می‌کند؛ به طور مثال، در دهه ۱۹۷۰ و هنگامی که طول ترانزیستورها در مقیاس میکرومتری بود، مهندسان می‌توانستند رفتار ترانزیستور را با استفاده از معادلات خاصی توصیف کنند. اما ترانزیستورهای زیرمیکرومتری شامل اثرات پیچیده‌ای است که مدل‌های پیشین از آنها غفلت کرده بودند، بنابراین، مهندسان به نرم‌افزار شبیه‌سازی رایانه‌ای برای مدلبندی‌کردن ترانزیستور کوچک‌تر روی آورده‌اند. یک فرمول کارآمدتر ترانزیستورها را در تمامی مقیاس‌ها توصیف می‌کند اما چنین مدلی وجود ندارد.
«درک» در خصوص دلیل سوم خود می‌گوید: گرچه مدل‌های ما به نظر می‌رسد به تمامی مقیاس‌های زمانی اعمال می‌شوند، ما شاید توصیفاتی را خلق می‌کنیم که با طول عمر زندگی انسان همخوانی دارند. به طو مثال، انسان خورشید را به عنوان منبع انرژی سیاره زمین می‌شناسد، اما چنانچه عمر وی به اندازه کیهان می‌بود، شاید خورشید برایش نوسانی با عمر کوتاه می‌بود که به سرعت سیاره ما را در تعادل حرارتی با خودش (هنگامی که به شکل یک غول قرمز منفجر می‌شود) در می‌آورد. از این دیدگاه، زمین، انرژی خالص مفیدی از خورشید اشتقاق نمی‌کند.
به گفته «درک»، حتی شمارش‌کردن دارای محدودیت‌های خاص خود است و به طور مثال، هنگام شمارش موزها، در نقطه‌ای تعداد موزها چنان بزرگ خواهد بود که کشش گرانشی تمامی آنها را به سوی سیاهچاله می‌کشد و ما به نقطه‌ای می‌رسیم که دیگر نمی‌توانیم به اعداد برای شمارش تکیه کنیم.
«درک» می‌گوید: در صورتی که انسان‌ها جامد نمی‌بودند و گاز بودند و در ابرها زندگی می‌کردند، شمارش اشیای متمایز این طور آشکار نبود. بنابراین، اصول مبتنی بر ایده شمارش ساده، ذات جهان ما نیستند، بلکه سازه انسان هستند و بنابراین هیچ تضمینی وجود ندارد که توصیف‌های ریاضیاتی که خلق می‌کنیم، به طور جهانی قابل اعمال باشند.
برای آبوت، این نکات و بسیاری نکات دیگر که وی در مقاله‌اش به آنها اشاره می‌کند، نشان می‌دهد که ریاضیات کشف معجزه‌گونه‌ای نیست که به طور مکرر با واقعیت تناسب داشته باشد و این که در نهایت، ریاضیات اختراعی انسانی است که مفید و محدود بوده و آن طور که انتظار می‌رود، خوب عمل می‌کند. آبوت معتقد است برای افرادی که به دنبال مولفه‌ای عملی‌تر از چنین بحثی می‌گردند، این مقاله می‌تواند آزادی تفکری بیشتری بدهد.
به گفته این دانشمند، اخیرا علاقه جدیدی به رویکردی به نام «جبر هندسی» به وجود آمده که بر بسیاری از محدودیت‌های موجود غلبه می‌کند و می‌تواند به ابعاد بالاتر بسط داده شود. آبوت هم‌اکنون در حال مطالعه بر روی مقاله‌ای با موضوع «جبر هندسی» برای مهندسان برق است که در آینده‌ای نزدیک منتشر می‌شود. جزئیات مقاله این دانشمند در Proceedings of the IEEE منتشر شده است
.--------------------------------
من نمی دونم این شخص این آمار رو از کجا آورده که 80 درصد ریاضیدان ها افلاطونی هستن. نمی دونم من برعکس فکر می کنم اغلب ریاضیدان ها غیر افلاطونی هستن.(با تعریف ارائه شده در بالا).
من همیشه طرفدار پرو پا قرص این جمله بودم"ریاضیات موفق به نظر می‌رسد، زیرا ما مسائلی را در نظر می‌گیریم که برای آنها شیوه‌ای در اعمال ریاضیات یافته‌ایم. این در حالی است که میلیون‌ها مدل ناکام ریاضی وجود دارند، اما هیچ کس به آنها اهمیتی نمی‌دهد"
البته این موضوع مثل همون بحث اینه که اول مرغ بوده یا اول تخم مرغ. در واقع سوال اینجا اینه که آیا ریاضی در عالم وجود داره و ریاضیدان ها دارن اون رو کشف میکنن (نظریه اول- افلاطون گرایی) یا ریاضی وجود نداره و ریاضیدان ها دارن اون رو کم کم میسازنش (نظریه دوم- غیر افلاطونی) و مثل هر اختراع دیگه ای میتونه بخش هاییش مفید و بخش هاییش غیر مفید باشه. فکر نمی کنم این بحث پایانی داشته باشه ولی من به وضوح طرفدار نظریه دوم هستم.
به گزارش ایسنا، در این میان، آنها به مثال‌هایی مانند عدد پی، E=mc۲ و حتی مولفه‌ای ساده مانند استفاده از اعداد صحیح انتزاعی برای شمارش اشیای جهان واقعی اشاره می‌کنند. با این حال، در حالی که این مثال‌ها میزان کارآمدی ریاضیات را برای انسان نشان می‌دهند، آیا این بدین معناست که جهان فیزیکی به طور طبیعی از قواعد ریاضیات به عنوان زبان مادری‌اش تبعیت می‌کند و این که آیا ریاضیات دارای وجود ذاتی است و منتظر کشف‌شدن است؟
این نقطه‌نظر در خصوص ماهیت رابطه بین ریاضیات و جهان فیزیکی «افلاطون‌گرایی» (Platonism) نامیده می‌شود، اما همگان با آن موافق نیستند. «درک آبوت»، پروفسور مهندسی الکترونیک و برق دانشگاه آدلاید استرالیا، در مقاله‌ای این موضوع را مطرح می‌کند که افلاطون‌گرایی ریاضیاتی دیدگاه دقیقی از واقعیت نیست.
به جای آن، وی طرفدار دیدگاه مخالف یعنی دیدگاه «غیرافلاطونی‌ها» است، که بر اساس آن، ریاضیات محصول تخیل انسانی است که انسان‌ها برای توصیف واقعیت، خلق کرده‌اند. در واقع، «درک» با استفاده از تجاربش تخمین می‌زند، در حالی که ۸۰ درصد ریاضی‌دانان به دیدگاه افلاطونی تکیه دارند، مهندسان تا حد زیادی غیرافلاطونی هستند. به گفته وی، فیزیکدانان تمایل دارند «غیرافلاطونی‌های پنهان» باشند، یعنی آنها اغلب در ملاعام افلاطونی به نظر می‌رسند، اما در خلوت خود اغلب اعترافی غیرافلاطونی دارند.
بنابراین، اگر ریاضی‌دانان، مهندسان و فیزیکدانان همگی بتوانند علی‌رغم تفاوت در اعتقادات بر سر موضوع فلسفی‌شان، عمل کنند، چرا ماهیت واقعی ریاضیات در ارتباطش با جهان فیزیکی مهم است؟
به گفته درک، دلیل این امر آن است که چون فرد متوجه می‌شود ریاضی صرفا یک سازه ذهنی است، (تقریبی از واقعیت که دارای نقاط ضعف و محدودیت‌های خود بوده و در نقطه‌ای ناکام می‌ماند، زیرا اشکال ریاضیاتی کامل در جهان فیزیکی وجود ندارند) می‌توان دید که ریاضیات تا چه اندازه غیرمفید است.
جنجالی‌ترین نقطه‌نظر آبوت این است که وی می‌گوید، ریاضیات به طور منحصربه‌فردی در توصیف‌کردن واقعیت خوب نبوده و قطعا همان معجزه‌ای نیست که تعدادی از دانشمندان از آن در حیرت‌اند. «درک» ادامه می‌دهد که اینشتین که یک غیرافلاطونی ریاضیاتی بود، دانشمندی بود که قدرت ریاضیات وی را حیرت زده کرده بود. وی از خود می‌پرسید: چگونه ریاضیات با وجود این که محصول تفکر انسانی (که خود مستقل از تجربه است) است، تا حد تحسین‌برانگیزی به اشیای موجود در واقعیت مرتبط است؟
در سال ۱۹۵۹، «یوجین ویگنر» ریاضیدان و فیزیکدان، این مشکل را «تاثیر غیرمعقولانه ریاضیات» توصیف کرد و در پاسخ آن، مقاله آبوت با عنوان «ناکارآمدی معقولانه ریاضیات» منتشر شده است. هر دوی این دیدگاه‌ها مبتنی بر ایده غیرافلاطونی هستند و این که ریاضیات اختراعی انسانی است. اما در حالی که ویگنر و اینشتین را می‌توان خوشبینان ریاضیاتی در نظر گرفت که متوجه تمامی شیوه‌هایی که از طریق آنها، ریاضیات با دقت واقعیت را توضیف می‌کند، بودند، آبوت با بدبینی اشاره می‌کند که مدل‌های ریاضیاتی تقریبا همیشه دارای نارسایی هستند.
آبوت توضیح می‌دهد که ریاضیات کارآمد، نمایش‌های ایده‌آل و فشرده‌ای از جهان فیزیکی ذاتا پر سر و صدا ارائه می‌دهد. وی مدعی است بیان‌های ریاضیاتی تحلیلی، شیوه‌ای برای توصیف‌های فشرده مشاهدات ما هستند و این که انسان‌ها به دنبال فشردگی هستند که ریاضیات به آنها می‌دهد، زیرا آنها قدرت مغز را محدود کرده‌اند.
به اعتقاد «درک»، ریاضیات هنگامی مفید است که بیان‌های ساده و فشرده‌ای ارائه دهد که بتوان به طور مکرر بر بسیاری از موقعیت‌ها اعمال کرد و زمانی که نتواند این فشردگی را ارائه دهد، ناکارآمد است. در واقع، این فشردگی است که آن را عملی و مفید می‌کند. به گفته آبوت، حالت‌های بسیار بیشتری وجود دارند که در آن ریاضی ناکارآمدتر (غیرفشرده) از زمانی است که مفید (فشرده) است و هنگامی که ما بر مثال‌های موفق تمرکز می‌کنیم، ریاضی فقط دارای توهم مفیدبودن است، اما مثال‌های موفق ما شاید به بخش کوچکی از تمامی سوالات ممکنی که در خصوص جهان مطرح‌اند، اعمال می‌شود.
تعدادی از مباحث موجود در مقاله آبوت، مبتنی بر ایده‌های «ریچارد وسلی همینگ» ریاضیدان است که در سال ۱۹۸۰ چهار دلیل را ارائه داد مبنی بر این که چرا ریاضیات آن گونه که به نظر می‌رسد، مفید نیست. گرچه همینگ خود را وقف این ایده کرد که ریاضیات به طور غیرمعقولانه‌ای کارآمد است، آبوت نشان می‌دهد که دلایل همینگ در واقع، از غیرافلاطونی‌گری و سطح کاهش‌یافته کارآمدی ریاضی حمایت می‌کنند.
دلایل آبوت برای این که چرا ریاضیات به طور معقولانه‌ای ناکارآمد است، بر اساس دیدگاه غیرافلاطونی و این که ریاضیات اختراعی انسانی است، قرار دارند. به گفته وی، ریاضیات موفق به نظر می‌رسد، زیرا ما مسائلی را در نظر می‌گیریم که برای آنها شیوه‌ای در اعمال ریاضیات یافته‌ایم. این در حالی است که میلیون‌ها مدل ناکام ریاضی وجود دارند، اما هیچ کس به آنها اهمیتی نمی‌دهد و این که یک "نابغه" صرفا فردی است که ایده‌ای بزرگ دارد، اما حس می‌کند که در خصوص دیگر افکار دیوانه‌وارش باید سکوت کند.
«درک» دلیل دیگرش را این گونه بیان می‌کند: کاربرد ریاضیات برای ما در مقیاس‌های مختلف تغییر می‌کند؛ به طور مثال، در دهه ۱۹۷۰ و هنگامی که طول ترانزیستورها در مقیاس میکرومتری بود، مهندسان می‌توانستند رفتار ترانزیستور را با استفاده از معادلات خاصی توصیف کنند. اما ترانزیستورهای زیرمیکرومتری شامل اثرات پیچیده‌ای است که مدل‌های پیشین از آنها غفلت کرده بودند، بنابراین، مهندسان به نرم‌افزار شبیه‌سازی رایانه‌ای برای مدلبندی‌کردن ترانزیستور کوچک‌تر روی آورده‌اند. یک فرمول کارآمدتر ترانزیستورها را در تمامی مقیاس‌ها توصیف می‌کند اما چنین مدلی وجود ندارد.
«درک» در خصوص دلیل سوم خود می‌گوید: گرچه مدل‌های ما به نظر می‌رسد به تمامی مقیاس‌های زمانی اعمال می‌شوند، ما شاید توصیفاتی را خلق می‌کنیم که با طول عمر زندگی انسان همخوانی دارند. به طو مثال، انسان خورشید را به عنوان منبع انرژی سیاره زمین می‌شناسد، اما چنانچه عمر وی به اندازه کیهان می‌بود، شاید خورشید برایش نوسانی با عمر کوتاه می‌بود که به سرعت سیاره ما را در تعادل حرارتی با خودش (هنگامی که به شکل یک غول قرمز منفجر می‌شود) در می‌آورد. از این دیدگاه، زمین، انرژی خالص مفیدی از خورشید اشتقاق نمی‌کند.
به گفته «درک»، حتی شمارش‌کردن دارای محدودیت‌های خاص خود است و به طور مثال، هنگام شمارش موزها، در نقطه‌ای تعداد موزها چنان بزرگ خواهد بود که کشش گرانشی تمامی آنها را به سوی سیاهچاله می‌کشد و ما به نقطه‌ای می‌رسیم که دیگر نمی‌توانیم به اعداد برای شمارش تکیه کنیم.
«درک» می‌گوید: در صورتی که انسان‌ها جامد نمی‌بودند و گاز بودند و در ابرها زندگی می‌کردند، شمارش اشیای متمایز این طور آشکار نبود. بنابراین، اصول مبتنی بر ایده شمارش ساده، ذات جهان ما نیستند، بلکه سازه انسان هستند و بنابراین هیچ تضمینی وجود ندارد که توصیف‌های ریاضیاتی که خلق می‌کنیم، به طور جهانی قابل اعمال باشند.
برای آبوت، این نکات و بسیاری نکات دیگر که وی در مقاله‌اش به آنها اشاره می‌کند، نشان می‌دهد که ریاضیات کشف معجزه‌گونه‌ای نیست که به طور مکرر با واقعیت تناسب داشته باشد و این که در نهایت، ریاضیات اختراعی انسانی است که مفید و محدود بوده و آن طور که انتظار می‌رود، خوب عمل می‌کند. آبوت معتقد است برای افرادی که به دنبال مولفه‌ای عملی‌تر از چنین بحثی می‌گردند، این مقاله می‌تواند آزادی تفکری بیشتری بدهد.
به گفته این دانشمند، اخیرا علاقه جدیدی به رویکردی به نام «جبر هندسی» به وجود آمده که بر بسیاری از محدودیت‌های موجود غلبه می‌کند و می‌تواند به ابعاد بالاتر بسط داده شود. آبوت هم‌اکنون در حال مطالعه بر روی مقاله‌ای با موضوع «جبر هندسی» برای مهندسان برق است که در آینده‌ای نزدیک منتشر می‌شود. جزئیات مقاله این دانشمند در Proceedings of the IEEE منتشر شده است
.--------------------------------
من نمی دونم این شخص این آمار رو از کجا آورده که 80 درصد ریاضیدان ها افلاطونی هستن. نمی دونم من برعکس فکر می کنم اغلب ریاضیدان ها غیر افلاطونی هستن.(با تعریف ارائه شده در بالا).
من همیشه طرفدار پرو پا قرص این جمله بودم"ریاضیات موفق به نظر می‌رسد، زیرا ما مسائلی را در نظر می‌گیریم که برای آنها شیوه‌ای در اعمال ریاضیات یافته‌ایم. این در حالی است که میلیون‌ها مدل ناکام ریاضی وجود دارند، اما هیچ کس به آنها اهمیتی نمی‌دهد"
البته این موضوع مثل همون بحث اینه که اول مرغ بوده یا اول تخم مرغ. در واقع سوال اینجا اینه که آیا ریاضی در عالم وجود داره و ریاضیدان ها دارن اون رو کشف میکنن (نظریه اول- افلاطون گرایی) یا ریاضی وجود نداره و ریاضیدان ها دارن اون رو کم کم میسازنش (نظریه دوم- غیر افلاطونی) و مثل هر اختراع دیگه ای میتونه بخش هاییش مفید و بخش هاییش غیر مفید باشه. فکر نمی کنم این بحث پایانی داشته باشه ولی من به وضوح طرفدار نظریه دوم هستم.
