بایگانی تیر ۱۳۹۶ :: برداشت های من از جهان پیرامون

۴ مطلب در تیر ۱۳۹۶ ثبت شده است

مریم میرزاخانی در گذشت

مریم میرزاخانی درگذشت. میرزاخان ریاضیدانی بزرگ بود که به سرنوشت بسیاری از نام آوران ریاضی که در سنین پایین درگذشتند مثل ریمان؛ آبل؛ گالوا دچار شد.

انگار همین دیروز بود که خبر موفقیتش در کسب مدال فیلدز رو شنیدم و حالا باید خبر درگذشتش رو منتشر کنم.

زندگی صحنه ی یکتای هنرمندی ماست
هر کسی نغمه ی خود خواند و از صحنه رود
صحنه پیوسته به جاست.
خرم آن نغمه که مردم بسپارند به یاد

روحش شاد.

۳ نظر
۰ ۰

عباسی

رابطه سرعت و شدت تصادف

امروز این خبر رو که مربوط به تصادف یک خودرو با پایه ای مونوریل در قم هست رو خوندم.

برخورد شدید خودرو با ستون‌ منوریل در قم ۳ کشته برجای گذاشت.

راننده خودرو رو می شناختم. ان شالله که روحشون شاد باشه.

------------

گویا در لحظه تصادف حدود 140 کیلومتر بر ساعت سرعت داشتن. اگر این خودرو به جای 140 کیلومتر بر ساعت؛ 100 کیلومتر سرعت داشت؛ شدت تصادف چقدر کاهش پیدا می کرد؟

وقتی خودرویی که با سرعت $v$ حرکت می کنه با یک جسم سخت مثل ستون های مونوریل برخورد می کنه میزان تکانه خودرو که برابر حاصل ضرب جرم خودرو در سرعت خودرو هست یعنی $mv$ به صفر میرسه. و اگر این تغییر تکانه مثلا توی $t$ ثانیه اتفاق بیفته و $F$ نیروی وارد بر ماشین باشه. میزان ضربه وارد شده به جسم برابر $F.t$ هست که برابر خواهد بود با تغییر تکانه. پس میزان نیروی وارد بر خودرو برابر میشه با:

$F = \frac{{mv}}{t}$

وقتی خودرویی با سرعت $v$ با یک مانع خیلی سخت برخورد می کنه، مقدار $t$ رابطه عکسی با سرعت ماشین پیدا می کنه ( تصور کنید در صورت تصادف مثلا قرار هست از سپر جلو تا قسمت فرمان ماشین جمع بشه؛ در این صورت هر چه سرعت بیشتر باشه این سرعت جمع شدگی هم بیشتر میشه) پس روی هم رفته نتیجه می گیریم که در برخورو با یک جسم سخت (مثل پایه های بتنی مونوریل) نیروی وارد به خودرو متناسب با ${v^2}$ است. پس می توانیم بنویسیم.

$F = k{v^2}$

که در آن $k$ مقداری ثابت است و $v$ سرعت اتومبیل و $F$ نیروی وارد بر اتومبیل است.

حالا ببینیم اگر یک خودرو 140 کیلومتر بر ساعت سرعت داشته باشه نسبت به خودرویی که 100 کیلومتر بر ساعت سرعت داره؛ حین تصادف چقدر بیشتر صدمه می بینه (نیرو بهش وارد میشه):

$\frac{{k{{.140}^2}}}{{k{{.100}^2}}} \approx 2$

یعنی شدت صدمه ای که تو سرعت 140 کیلومتر بر ساعت حین تصادف با جسم سخت وارد میشه، دوبرابر شدت ضریه ای هست که با سرعت 100 کیلومتر وارد میشه.

این بندگان خدا هم که تصادف کردن اگر سرعتشون به جای 140 مثلا 100 بود (یعنی تقریبا 30 درصد آرومتر می رفتن) اون موقع نیروی وارد بر خودروشون نصف میشد و به احتمال زیاد الآن زنده بودن.

یک نکته ای که خیلی مهم هست و باید در نظر گرفت این هست که احتمال مرگ سرنشینان در تصادف خودرو با نیروی وارد بر خودرو رابطه خطی نداره و رابطه ای نمایی داره. یعنی وقتی مثلا نیروی وارد بر خودرویی دو برابر بشه احتمال مرگ سرنشینان 2 برابر نمیشه و عملا بیش از 4 یا 6 برابر میشه. من تو نوشته های آینده وبلاگ به این موضوع می پردازم که رابطه بین سرعت خودرو و مرگ سرنشینان چطور رابطه ای هست . سعی می کنم به کمک داده های تجربی موجود در این رابطه و به کمک تقریب این داده ها با یک تابع مناسب (مثلا درونیابی چند جمله ای!!!) ؛ میزان افزایش شانس مرگ سرنشینان با افزایش سرعت خودرو رو تخمین بزنم.

پ ن:مونوریل قم قرار بود سال 92 افتتاح بشه که هنوز افتتاح نشده؛ علاوه بر اینکه میلیاردها تومن سرمایه شهر توی این پروژه نیمه کاره گیر افتاده؛ حالا باید شاهد تصادفات این چنینی هم باشیم!!!

یک سوال: فرض کنید دو راننده داریم که یکی راننده ماهر هست و دیگری راننده تازه کار؛فرض کنید احتمال تصادف راننده تازه کار 10 برابر راننده ماهر باشه اما راننده تازه کار با سرعت 40 کیلومتر بر ساعت رانندگی می کنه و راننده ماهر با سرعت 80 کیلومتر؛ شما ترجیح می دید سوار ماشین کدومشون بشید؟

۲ نظر
۱ ۰

عباسی

قرعه کشی های خانگی

یکی از خوانندگان وبلاگ این کامنت رو برای من گذاشته:

"چندسال پیش یکی از دوستان قدیمی مون ب خواهرم پیشنهاد شرکت در قرعه کشی خونگی شو داده بود

گفته بود فقط شرط داره و همه اعضاء پذیرفتن! و اینه که همه در اولین قسط قرعه کشی باید دوبرابر مبلغ رو بپردازن

و هیچ قرعه کشی نمیشه در اولین قسط!

گفته بود دلیلش اینه ک قرار گذاشته با اعضا ک اولین قرعه بدون قرعه کشی برای خودش باشه و خودشم در قرعه کشی بود

و چون نمیدونه ک اعضا خوش حسابن یا نه اون قسط دوم ک دارن میدن درواقع دیرکرد احتمالی جریمه اقساطشونه چون اعضا با دیرپرداخت کردن اقساط علاوه برابنکه اگر اسمشون در میومد ، وی شماره شونو دوباره مینداختن و قرعه کشی تکرار میشد ، جریمه نقدی کمی هم ب ازای هر روز دیرکرد پرداختشون منظورمیشد!

خب بنظرمن طرح هوشمندانه و کاسبانه ای هست!

ایشون اولین اقساط مردمو خودش بدون قرعه برمیداشت! این یعنی سواستفاده از موقعیت و اینکه هدفش از برگزاری قرعه کشی فقط و فقط سودی بود که عایدش میشد ولی ب مردم میگفت که کاربسیار درستیه!

از این بگذریم

با گذشت چن سال افراد دیگه ای واقعا بدون سواستفاده و با هدف یک نوع پس انداز قرعه کشی خانگی برگزار میکنن

ولی من کمی بدبینم!

چون دو نوع افراد شرکت کردن

افرادی ک فک میکنن با شرکت در قرعه کشی خودشونو از سود وام خلاص کردن ک بنظرم احمقانه ست

اخه وامی ک بانک الان یا چن ماه دیگه فوووقش 1سال دیگه میده ارزشش خیلی فرق داره با اینکه مثلا 2سال دیگه اسمشون در قرعه کشی دربیاد!

دوم افرادی ک با هدف پس انداز شرکت میکنن

در هر صورت بنظرم افراد در حال ضرر کردن هستن مگر اینکه....؟

مگر اینکه در مرتبه ای از برگزاری قرعه کشی اسمشون دربیاد ک ارزش پولشون کمتر از قبلش نباشه

واقعا فکرمو مشغول کرده

میدونم ب شرایط زیادی از جمله وضعیت اقتصادی، سیاسی کشور بستگی میتونه داشته باشه اما این مهمه ک بتونم بطور کلی بگم ک مثلا قرعه کشی که 50 قسط داره یعنی درصورت برگزاری هر مرتبه در هرماه 50 ماه طول میکشه من تا چندمین قسط اسمم بهتره در اومده باشه؟ چون عملا بعد از اون دیگه بنظرم ارزشی نخواهد داشت"

------------------------------------------------

برای پاسخ به این کامنت برای اینکه خیلی کار رو پیچیده نکنم من یک مصداق خاص رو در نظر می گیرم. فرض کنید شما در یک قرعه کشی خانگی به صورت گفته شده در کامنت شرکت می کنید به این صورت فرض کنیم 50 نفر در قرعه کشی شرکت می کنن که هرکدوم از اعضا در هر ماه یک میلیون تومان باید پرداخت کنن وکسی که اسمش در قرعه کشی در بیاد برنده 50 میلیون تومان کل اون ماه میشه. البته در طی 50 ماه هرکس یک و فقط یک بار میتونه انتخاب بشه. مسلما کسانیکه اسم هاشون در قرعه کشی های اولیه در بیاد سود می کنن و کسانیکه در قرعه های آخری اسمشون در بیاد ضرر می کنن. سوالی که مطرح هست اینه که تا نفر چندم سود می کنن؟

حالت الف) فرض کنید مسئول برگزاری هم مثل سایر شرکت کننده ها تو قرعه کشی شرکت کنه و امتیاز خاصی نداشته باشه:

در حال حاضر بانک ها چیزی در حدود 20 درصد سود میدن اگر ما این رو مبنا قرار بدیم سود ماهانه میشه:

$r = \frac{{0.2}}{{12}}$

اگر شخصی بخواد سود کنه در این قرعه کشی باید ارزش فعلی 50 میلیونی که میبره (مثلا در قرعه کشی s ام) باید از ارزش فعلی پول هایی که پرداخت می کنه بیشتر باشه . با توجه به فرمول ارزش خالص فعلی داریم:

$\frac{{50}}{{{{(1 + r)}^s}}} \ge \sum\limits_{i = 1}^{50} {\frac{1}{{{{(1 + r)}^i}}}} \to$

${(1 + r)^s} \le \frac{{50}}{{\sum\limits_{i = 1}^{50} {\frac{1}{{{{(1 + r)}^i}}}} }} = {\rm{1}}{\rm{.48}} \to$

${\rm{s}} \le \frac{{Ln(1.48)}}{{Ln(1 + r)}} = {\rm{23}}{\rm{.78}}$

, و این یعنی با این شرایط 23 نفر اول که اسمشون در قرعه کشی در میاد عملا سود می کنن و بقیه ضرر!!! یعنی در حدود 46 درصد افراد سود می کنن و بقیه ضرر!!!

در این صورت امید ریاضی ورود به این قرعه کشی صفر هست یعنی:

$\sum\limits_{s = 1}^{50} {\left( {\frac{{50}}{{{{(1 + r)}^s}}} - \sum\limits_{i = 1}^{50} {\frac{1}{{{{(1 + r)}^i}}}} } \right)} \left( {\frac{1}{{50}}} \right) =$

$\sum\limits_{s = 1}^{50} {\left( {\frac{{50}}{{{{(1 + r)}^s}}}} \right)} \left( {\frac{1}{{50}}} \right) -$ $\sum\limits_{s = 1}^{50} {\left( {\sum\limits_{i = 1}^{50} {\frac{1}{{{{(1 + r)}^i}}}} } \right)} \left( {\frac{1}{{50}}} \right) =$

$\sum\limits_{s = 1}^{50} {\left( {\frac{1}{{{{(1 + r)}^s}}}} \right)} - \sum\limits_{i = 1}^{50} {\frac{1}{{{{(1 + r)}^i}}}} = 0$

یعنی با اینکه احتمال ضرر هر فرد 54 درصد هست اما چون میزان سودی که افراد غیر ضرر کرده میبرن بیشتر هست. بنابراین در نهایت امید ریاضی ورود به چنین قرعه کشی صفر میشه و این یعنی از نظر ریاضی ورود به چنین قرعه کشی هایی در نهایت نه سود داره و نه زیان!!!

-----------

حالت ب) اما حالتی رو در نظر بگیرید که در ابتدا گفته شده و اونم اینکه مسئول برگزاری بخواد پول قرعه کشی اول رو برای خودش برداره و برای پوشش ریسک مربوط به عدم پرداخت ها در اینده در ماه اول افراد مجبور باشن 2 برابر پرداخت کنن. در این صورت اول ببینیم از 49 نفر باقیمانده ( به جز خود مسول برگزاری) چند نفر میتونن سود کنن:

با توجه به فرمول ارزش فعلی دارایی داریم: اگر افراد بخوان تا ماه s -ام سود کنن :

$\frac{{50}}{{{{(1 + r)}^s}}} \ge \sum\limits_{i = 1}^{49} {\frac{1}{{{{(1 + r)}^i}}}} + \frac{1}{{(1 + r)}} \to$

${(1 + r)^s} \le \frac{{50}}{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{50} {\frac{1}{{{{(1 + r)}^i}}}} } \right) + \frac{1}{{(1 + r)}}}} = {\rm{1}}{\rm{.45}} \to$

${\rm{s}} \le \frac{{Ln(1.45)}}{{Ln(1 + r)}} = {\rm{22}}{\rm{.81}}$

با توجه به اینکه در ماه اول قرعه کشی انجام نمیشه در این صورت 21 نفر از 49 نفر یعنی تقریبا 43 درصد افراد سود میکنن و 57 درصد ضرر . (در بین اون 49 نفر و گرنه مسول برگزاری که قطعا سود می کنه!!!). و امید ریاضی برای 49 نفر حاضر در قرعه کشی میشه:

$\sum\limits_{s = 2}^{50} {\left( {\frac{{50}}{{{{(1 + r)}^s}}} - \sum\limits_{i = 1}^{49} {\frac{1}{{{{(1 + r)}^i}}} - \frac{1}{{(1 + r)}}} } \right)} \left( {\frac{1}{{50}}} \right) = - 0.861$

یعنی در این حالت به طور متوسط هر کدوم از اون 49 نفر به طور متوسط 861 هزار تومن ضرر میکنن!!! یا به عبارت دیگه (با توجه به اینکه هرگز پول از بین نمیره و فقط از افرادی به افراد دیگر منقل میشه، میشه نتیجه گرفت ) مسئول برگزاری قرعه کشی در هر ماه 861 هزار تومان سود می کنه!!! البته این سود بدون ریسک هم نیست و مسئول برگزاری زمانیکه مثلا یکی از اعضا تو ماه دوم برنده بشه و پولا رو ورداره بره و دیگه نخواد تو قرعه کشی شرکت کنه باید پاسخگوی بقیه باشه.

ولی روی هم رفته اگر قرار باشه مسئول برگزاری بدون قرعه کشی توی ماه اول برنده باشه از نظر ریاضی شرکت در چنین قرعه کشیی به صلاح نیست وضرر داره!!! مگر در دو حالت:

1- خود فرد شرکت کننده مسول برگزاری باشه و از افراد شرکت کننده به اندازه کافی تضمین گرفته باشه که حتما تو قرعه کشی شرکت کنن.

2- فردی که کلاهبردار باشه و با خودش تصمیم گرفته باشه هر موقع برنده شد پولا رو ورداره بره و دیگه پیداش نشه.

به جز این دو حالت شرکت تو این قرعه کشی ها ضرر هست.

۲ نظر
۱ ۰

عباسی

با چه سرعتی رانندگی کنیم؟

فرض کنید که یک جاده تقریبا خالی و صاف جلوی شما هست و شما می تونید با هر سرعتی خواستید توش رانندگی کنید تا به مقصد برسید. سوالی که مطرح هست اینه که با چه سرعتی رانندگی کنیم تا زمانیکه به مقصد می رسیم کمترین میزان سوخت رو مصرف کرده باشیم؟

اگر با سرعت کم رانندگی کنید مصرف سوختتون پایین میره ولی چون در واحد زمان طول کمتری رو طی می کنید در نهایت مصرف بنزینتون میره بالا و اگر با سرعت خیلی زیاد هم رانندگی کنید بازهم مصرف بنزینتون میره بالا.

وقتی خودرویی در حال حرکت هست؛ دو عامل کلی باعث مصرف سوخت میشه؛ یکی موتور و فعل و انفعالاتی که داخل و اون صورت میگیره که این عامل به سرعت خودرو ربطی نداره، چرا که اگر خودرو ساکن و روشن هم باشه باز فعالیت موتور باعث مصرف بنزین میشه و عامل بعدی هم مقاومت هواست که اتفاقا با افزایش سرعت خودرو مقدار مقاومت هوا هم افزایش پیدا می کنه. اما چه رابطه ای بین مقاومت هوا و سرعت خودرو هست. مولکول های هوا رو تعدادی سنگ کوچیک تصور کنید وقتی خودرویی حرکت می کنه با این مولکول ها برخورد می کنه؛ وقتی سرعت خودرو رو دو برابر کنیم اولا تعداد برخوردها در واحد زمان دو برابر میشه و ثانیا شدت برخورد هم دو برابر میشه؛ پس نتیجه می گیریم میزان مقاومت هوا با مربع (توان 2) سرعت متناسب هست. بنابراین با این دوموضوع میشه فرمول زیر رو برای مصرف سوخت یک خودرو در طی یک ساعت ارائه داد:

$F = u.{v^2} + s$

که $F$ میزان مصرف سوخت در هر ساعت و $v$ سرعت خودرو است، $s$ و $u$ پارامترهایی هستن که باید بعدا تخمین یزنیم.

هدف ما این هست که میزان مسافت طی شده در هر ساعت رو نسبت به مصرف سوخت ماکزیمم کنیم و در واقع می خواهیم $v$ را طوری به دست بیاریم که تابع $g(v) = \frac{v}{{u.{v^2} + s}}$ ماکزیمم بشه. از این تابع نسبت به $v$ مشتق می گیریم و با برابر صفر قرار دادن مقدار مشتق؛ اکسترمم این تابع رو به دست میاریم:

$\begin{array}{l} g'(v) = \frac{{u.{v^2} + s - 2u.{v^2}}}{{{{(u.{v^2} + s)}^2}}} = 0 \to \\ v = \sqrt {\frac{s}{u}} \end{array}$

حالا سعی می کنم با اطلاعات موجود و به صورت تقریبی $s$ و $u$ تخمین بزنم.

خودروهای داخلی اغلب با سرعت 100 کیلومتر بر ساعت در طی یک ساعت در جاده حدود 6 لیتر مصرف بنزین دارن. تخمین من اینه که همین ماشین با سرعت 50 کیلومتر بر ساعت؛ برای طی 100 کیلومتر حدود 7 لیتر بنزین نیاز داره (براساس مصرف ماشین خودم!!!) و چون با سرعت 50؛ نیاز به 2 ساعت هست که 100 کیلومتر طی بشه پس نتیجه می گیریم با سرعت 50 در هر ساعت حدود 3.5 لیتر بنزین مصرف میشه, با این اطلاعات $s$ و $u$ رو تخمین می زنیم.

$\begin{array}{ccccccccccccccc} {6 = u.{{(100)}^2} + s}\\ {3.5 = u.{{(50)}^2} + s} \end{array} \to$ $\left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {u = {\rm{0}}{\rm{.000333}}}\\ {s = {\rm{2}}{\rm{.667}}} \end{array}} \right.$

با این اطلاعات حالا میشه سرعت بهینه خودرو رو تعیین کرد که میشه:

$v = \sqrt {\frac{s}{u}} = {\rm{89}}{\rm{.45278185}} \approx 90$

یعنی بهترین سرعت برای حرکت خودرو حدودا 90 کیلومتر بر ساعت است.

با سرعت 90 کیلومتر در ساعت حدود 5.4 لیتر بنزین در ساعت مصرف میشه (مقدار $F$ رو در سرعت 90 در نظر بگیرید) و با سرعت 120 کیلومتر در هر ساعت حدود 7.5 لیتر بنزین در ساعت مصرف میشه یعنی یک ساعت رانندگی با سرعت 120 کیلومتر بر ساعت حدود 40 درصد مصرف بنزین رو افزایش میده اما زمان رسیدن به مقصد رو تنها 25 درصد کاهش میده.

پ ن:چون تخمین های من همه حدودی بود در عمل و برای ماشین های مختلف میشه گفت سرعت در بازه 85 تا 95 کیلومتر بر ساعت سرعت بهینه محسوب میشه.

۳ نظر
۲ ۰

عباسی