پاسخ به یک پارادوکس ریاضی

در اینجا مطلبی آوورده شده و طی اون نشون داده شده که حاصلجمع تمام اعداد طبیعی برابر منفی یک دوازدهم هست. 

اما اشکال این استدلال ارائه شده کجاست؟ همون جایی که نوشته شده:

S1= 1-1+1-1+1-1+1-1......

ما از نظر ریاضی مجاز نیستیم که کمیتی رو که وجود نداره رو براش اسم گزاری کنیم! شاید پیش خودتون بگید ما نمی دونیم که مقدار سمت راست وجود داره یا نه؛ پس براش یه اسم انتخاب می کنیم و بعد با استفاده از اون نشون می دیم وجود داره. ولی این کار غلطه و مثال های  زیادی میشه ساخت که منجر به نتیجه های اشتباه مانند بالا بشه. مثلا دنباله زیر رو در نظر بگیرید

x_(n+1)=1+2x_n

و فرض کنید x_0=1؛ واضح است که دنباله x_n واگراست. اما اگر شما بیایید برای حد این دنباله که وجود نداره اسم L رو انتخاب کنید؛ و از طرفین رابطه بالا حد بگیرید, منجر به این میشه که

L=1+2L=======>L=-1

به این موضوع در منطق می گن , انتفاء مقدم و معنیش اینه که میشه از یک فرض غلط هر نتیجه ای رو گرفت.

برای اینکه موضوع بیشتر جا بیفته یه مثال ساده تر می زنم. دست راستتون رو مشت کنید؛ توی مشتتون هیچی نیست ولی فرض کنید که توی مشتتون یه سکه طلا هست. حالا دوستتون رو صدا کنید و ازش بخوایید دست راستش رو مشت کنه. توی دست راست دوستتون همون چیزی هست که توی دست راست شما بود و بنابراین یه سکه طلا تو دستش هست و شما خیلی راحت یه سکه به دوستت هدیه دادی!!!

اینترنت

روز به روز داره حجم استفاده ام از اینترنت افزایش پیدا می کنه. تقریبا در مورد هر موضوعی اولین و اخرین مرجعم اینترنت شده. و حتی تلاشی برای یادگیری خیلی چیزها نمی کنم چون می دونم جوابش تو اینترنت پیدا میشه. مثلا تقریبا مطمئنم سوادم برای کار با نرم افزارهایی مثل ورد و پاورپوینت الآن کمتر از 6 سال پیش هست. یعنی اگر یه نفر بیاد و سوالاتی در مورد ورد ازم بپرسه احتمالا پاسخ هام نسبت به 6 سال پیش بدتر خواهد بود چون حالا دیگه سعی نمی کنم چیزی رو یاد بگیرم و هر موقع که لازم میشه جوابش رو تو اینترنت پیدا می کنم.

اگه بخوام چیزی بخرم اول میرم سراغ اینترنت؛ وقتی مریض میشم اولین دکترم اینترنت هست! جواب آزمایشات پزشکی رو هم که حتما حتما باید با اینترنت چک کرد. فرمول های مورد نیاز درسی هم که همه تو اینترنت هست. مسابقات فوتبال رو هم تو تلوزیون نمی بینم بلکه لحظات حساس بازی رو تو اینترنت نگاه می کنم. میخوام برم جایی اول آدرسش رو تو اینترنت چک می کنم.

کم کم داریم بخشی از کارکردهای مغزمون رو به اینترنت میسپریم. یکی از کارکردهای مغز ما این هست که بعضی از مطالب رو توش ذخیره می کنیم مثل بعضی شماره تلفن ها یا فرمول های مثلثاتی؛ ولی به نظر میرسه که کم کم نیازمون به این کارکرد مغز داره مرتفع میشه.

حالا که اینها رو نوشتم بهتره این لطیفه رو هم اینجا بزارم (البته قبلا نوشتمش):

یه روز یه مهندس آی تی به یه ریاضیدان می گه جواب همه سوالات تو اینترنت پیدا میشه؛ ریاضیدان می گه بعید می دونم اینطوری باشه. مهندس آی تی میگه بیا باهم شرط ببندیم اونم به این شکل که من از تو سوال بپرسم و تو هم از من اگر من به کمک انترنت نتونستم به سوالت جواب بدم بهت 50 هزار تومن میدم و اگه تو نتونستی به سوال من جواب بدی تو به من 5 هزار تومن بده و ریاضیدان قبول می کنه. اول مهنس آی تی میپرسه پایتخت کشور کنیا کجاست؛ ریاضیدان میگه نمی دونم و 5 هزار تومن میده. بعد ریاضیدان از مهندس ای تی میپرسه اون چیه که وقتی از کوه بالا میره 4 تا پا داره وقتی از کوه پایین میاد 3 تا پا داره. مهندس آی تی یه یک ساعتی تو اینترنت سرچ می کنه ولی جواب سوال رو پیدا نمی کنه و 50 هزار تومن به ریاضیدان میده. بعد به ریاضیدان میگه من جوابش رو پیدا نکردم حالا خودت جوابش رو بگو ببینم چی میشه. ریاضیدان 5 هزار تومن دیگه بهش میده!!!

انتخابات و ریاضی

من قبلا در مورد اینکه نظر سنجی ها چقدر می تونن نتیجه معتبر داشته باشن نوشتم. حالا می خوام در مورد موضوع دیگه ای بنویسم.

شمارش آرا مجلس در بعضی از حوزه های انتخاباتی با جمعیت زیاد و درنتیجه  نمایندگان بیشتر مجلس مثل تهران خیلی طول می کشه. اما وزارت کشور می تونه خیلی منتظر نمونه و خیلی سریع جواب اولیه ای رو اعلام کنه که با دقت 98 درصد (یعنی تقریبا 100درصد!!!) مطمئن باشه.

روش کار هم اینه که فرض کنیم در صندوقی 2000 رای انداخته شده و یک نماینده در این صندوق مثلا 600 رای (30 درصد آرا رو داره).حالا اکر فقط 10 درصد آرا این صندوق به طور تصادفی انتخاب بشه و  آراء  شمرده بشه؛ به احتمال بیش از 98 درصد اون شخص در بین این 10 درصد آرا میتونه 29 تا 31 درصد آرا رو کسب کنه؛ و براین اساس میشه با یک دقت خیلی بالا آراء اون نماینده رو در کل یک صندوق محاسبه کرد و اگر این کار رو برای تک تک صندوق ها انجام بدیم, اون موقع میشه با یک دقت خیلی بالا وفقط با شمارش 10 درصد کل آرا نتیجه تقریبی انتخابات رو که 98 درصد دقت داره رو تعیین کرد.

سوال: فرض کنید صندوقی دارای n رای هست؛ که یک شخص خاص دارای m درصد رای در این صندوق هست. احتمال اینکه با شمارش 10 درصد آراء؛ آراء این شخص در این 10 درصد بین m-1 و m+1  درصد قرار بگیرد چقدر است؟

مدلسازی ریاضی

در شرایط فعلی برخی از مهارتهای سنتی ریاضی؛ مثل توانایی مشتق گیری و انتگرالگیری و تا حد زیادی حل معادلات دیفرانسیل دیگه اهمیت چندانی نداره؛ و به راحتی و با دقت بالا توسط کامپیوترها انجام میشه. بهتره در چنین شرایطی قسمتی از آموزش ریاضی به موضوع مدلسازی های ریاضی اختصاص پیدا کنه؛ این موضوعی هست که در سالیان گذشته خیلی مغفول باقی مونده.

کمی منطق

دو تعریف زیر را در نظر بگیرید:

تعریف اول: یک عدد طبیعی را جالب گوئیم هرگاه اولا مضرب 1394  باشد و ثانیا اگر بر 15 بخش پذیر بود بر 2016 هم بخش پذیر باشد.

تعریف دوم: یک عدد طبیعی را جالب گوئیم هرگاه اولا مضرب 1394  باشد و ثانیا اگر بر 5 بخش پذیر بود بر 2016 هم بخش پذیر باشد.

سوال: کدامیک از این دو تعریف شامل اعداد جالب بیشتری است؟

======================

جواب: می توان نشان داد هر عددی که با تعریف دوم جالب باشد؛ با تعریف اول هم جالب است. اما مثلا عدد 5*1394  با تعریف اول جالب است اما با تعریف دوم جالب نیست. پس تعرف اول شامل اعداد جالب بیشتری است (البته این بیشتر بودن به مفهوم کاردینالی که در مبانی ریاضی هست, نیست!! )