اعتبار نظر سنجی 2

تو چند پست قبل این سوال رو پرسیده بودم:

فرض کنید که میخوایید در مورد انتخاب یک مورد از چند مورد مطرح شده از مردم رای گیری کنید (مثلا انتخابات ریاست جمهوری)در یک کشوری که 100 میلیون نفر جمعیت داره.

فرض کنید ما یک جامعه آماری 1000 نفری از جمعیت این کشور رو به صورت کاملا تصادفی انتخاب میکنیم و می بینیم که از این 1000 نفر 60 درصد یعنی 600 نفر به گزینه الف رای میدن.
سوال: چقدر احتمال داره که در روز رای گیری گزینه الف بتونه بین 57 تا 63 درصد آرا رو کسب کنه؟(یعنی نتیجه نظر سنجی با حداکثر 3 درصد خطا معتبر باشه)
جواب: جواب سوال بالا 63 درصد هست.
جالبه که اگه ما به جای 1000 نفر از 3000 نفر در نظر سنجی استفاده کنیم و گزینه الف  بتونه 60 درصد آرا رو کسب کنه اونوقت به احتمال 98 درصد تو رای گیری واقعی هم میتونه بین 57 درصد تا 63 درصد آرا رو کسب کنه. بنابراین اگه تو این جامعه 100 میلیون نفری 3000 نفر انتخاب کنیم و نظر اونها رو بپرسیم نتیجه حاصل با نتیجه واقعی روز رای گیری تفاوت چندانی نمیکنه.فقط مهمه که بتونیم 3000 نفر رو به صورت کاملا تصادفی انتخاب کنیم. یه روش برای اینکار اینه که 3000 تا شماره ملی کاملا تصادفی توسط نرم افزار انتخاب کنیم بعد اون افراد رو پیدا کنیم و نظرشون رو بپرسیم اون موقع میتونیم به احتمال 98 درصد با خطای 3 درصد نتیجه رای گیری رو به درستی پیش بینی کنیم.
من برای حل سوال از قاعده بیز در آمار و احتمال استفاده کردم که منجر به انتگرال هایی میشد که به روش تحلیلی قابل حل نبود من برای حلشون از روش سیمپسون استفاده کردم. کلیه محاسبات رو هم بوسیله نرم افزار میپل انجام دادم. در واقع جواب رو از محاسبه مقدار زیر به دست آووردم.


نکته: تو بعضی نظر سنجی هایی که نتایجش قبل انتخابات اعلام میشد دائما برای اینکه بگن نظر سنجی ما بهتره هر گروه روی این مانور میداد که جامعه آماری نظر سنجی ما بزرگتر هست در حالیکه زیاد بودن تعداد افرادی که نظر سنجی میشوند زیاد مهم نیست مهم انتخاب تصادفی اونهاست. وگرنه اگه شما تو کشوری مثل ایران که 50 میلیون رای دهنده داره از 3000 نفر نظر سنجی کنید کافیه و نتیجه با دقت 99 درصد و حداکثر خطای 3 درصد قابل اطمینان هست. فقط باید افراد کاملا تصادفی انتخاب شده باشن